Exponential decay for a class of non local non linear Schroedinger equations with localised damping

Abstract

En este artículo estudiamos el decaimiento exponencial de la carga y la energía libre para soluciones de una familia de ecuaciones de Schrödinger no lineales y no locales con amortiguamiento localizado en toda la línea. Primero, establecemos una desigualdad de observabilidad para el flujo lineal, de la cual obtenemos el resultado en el caso lineal. Posteriormente, consideramos el caso no lineal y, mediante argumentos perturbativos, obtenemos el decaimiento exponencial para soluciones con datos iniciales pequeños. Finalmente, analizamos aspectos cualitativos de la dinámica y demostramos que la tasa de estabilización se reduce a medida que la región de amortiguamiento libre se elige alrededor del origen.

In this paper we study the exponential decay of both the charge and the free energy for solutions of a family of non-linear, non-local Schrdinger equations with localised damping on the whole line. We first establish an observability inequality for the linear flow, from which we obtain the result in the linear case. Then we consider the non-linear case and by perturbative arguments we obtain the exponential decay for solutions with small initial data. Finally we discuss qualitative aspects of the dynamics and show that the stabilisation rate becomes smaller as the free damping region is chosen around the origin.

Neste artigo, estudamos o decaimento exponencial tanto da carga quanto da energia livre para soluções de uma família de equações de Schrödinger não lineares e não locais com amortecimento localizado em toda a linha. Primeiramente, estabelecemos uma desigualdade de observabilidade para o fluxo linear, a partir da qual obtemos o resultado no caso linear. Em seguida, consideramos o caso não linear e, por meio de argumentos perturbativos, obtemos o decaimento exponencial para soluções com dados iniciais pequenos. Por fim, discutimos aspectos qualitativos da dinâmica e mostramos que a taxa de estabilização diminui à medida que a região de amortecimento livre é escolhida ao redor da origem.