Unitary subgroups and orbits of compact self-adjoint operators

Abstract

Sea H un espacio de Hilbert separable, y sean D(B(H) ah) los operadores diagonales acotados antihermíticos en alguna base ortonormal fija y K(H) los operadores compactos. Estudiamos el grupo de operadores unitarios Uk,d = {u ? U(H) : ?D ? D(B(H) ah), u ? e D ? K(H)} para obtener una descripción concreta de curvas cortas en órbitas unitarias de Fredholm Ob = {e Kbe?K : K ? K(H) ah} de un operador autoadjunto compacto b con multiplicidad espectral uno. Consideramos la distancia rectificable en Ob definida como el ínfimo de longitudes de curva medidas con la métrica de Finsler definida por medio del espacio cociente K(H) ah/D(K(H) ah). Entonces, para cada c ? Ob y x ? Tc(Ob) existe una elevación mínima Z0 ? B(H) ah (en la norma del cociente, no necesariamente compacta) tal que ?(t) = e tZ0 ce?tZ0 es una curva corta en Ob en un cierto intervalo.

Let H be a separable Hilbert space, and let D(B(H) ah) be the antiHermitian bounded diagonal operators in some fixed orthonormal basis and K(H) the compact operators. We study the group of unitary operators Uk,d = {u ? U(H) : ?D ? D(B(H) ah), u ? e D ? K(H)} in order to obtain a concrete description of short curves in unitary Fredholm orbits Ob = {e Kbe?K : K ? K(H) ah} of a compact self-adjoint operator b with spectral multiplicity one. We consider the rectifiable distance on Ob defined as the infimum of curve lengths measured with the Finsler metric defined by means of the quotient space K(H) ah/D(K(H) ah). Then for every c ? Ob and x ? Tc(Ob) there exists a minimal lifting Z0 ? B(H) ah (in the quotient norm, not necessarily compact) such that ?(t) = e tZ0 ce?tZ0 is a short curve on Ob in a certain interval.

Seja H um espaço de Hilbert separável, e sejam D(B(H) ah) os operadores diagonais limitados anti-Hermitianos em alguma base ortonormal fixa e K(H) os operadores compactos. Estudamos o grupo de operadores unitários Uk,d = {u ? U(H) : ?D ? D(B(H) ah), u ? e D ? K(H)} para obter uma descrição concreta de curvas curtas em órbitas de Fredholm unitárias Ob = {e Kbe?K : K ? K(H) ah} de um operador autoadjunto compacto b com multiplicidade espectral um. Consideramos a distância retificável em Ob definida como o ínfimo de comprimentos de curva medidos com a métrica de Finsler definida por meio do espaço quociente K(H) ah/D(K(H) ah). Então, para cada c ? Ob e x ? Tc(Ob), existe um levantamento mínimo Z0 ? B(H) ah (na norma quociente, não necessariamente compacto) tal que ?(t) = e tZ0 ce?tZ0 é uma curva curta em Ob em um determinado intervalo.