Geodesic neighborhoods in unitary orbits of self-adjoint operators of K + C

Abstract

En el presente artículo, estudiamos la órbita unitaria de un operador diagonal hermitiano compacto con multiplicidad espectral uno bajo la acción del grupo unitario U(K+C) de la unitarización de los operadores compactos K(H) + C, o equivalentemente, el cociente U(K+C) /U(D(K+C)) . Relacionamos esto y la acción de diferentes subgrupos unitarios para describir geodésicas métricas (usando una distancia natural) que unen puntos finales. Como consecuencia obtenemos un teorema local de Hopf-Rinow. También exploramos casos sobre la unicidad de curvas cortas y demostramos que existen algunas de ellas que no pueden parametrizarse utilizando operadores antihermitianos mínimos de K(H) + C.

In the present paper, we study the unitary orbit of a compact Hermitian diagonal operator with spectral multiplicity one under the action of the unitary group U(K+C) of the unitization of the compact operators K(H) + C, or equivalently, the quotient U(K+C) /U(D(K+C)) . We relate this and the action of different unitary subgroups to describe metric geodesics (using a natural distance) which join end points. As a consequence we obtain a local Hopf-Rinow theorem. We also explore cases about the uniqueness of short curves and prove that there exist some of these that cannot be parameterized using minimal anti-Hermitian operators of K(H) + C.

No presente artigo, estudamos a órbita unitária de um operador diagonal Hermitiano compacto com multiplicidade espectral um sob a ação do grupo unitário U(K+C) da unitização dos operadores compactos K(H) + C, ou equivalentemente, o quociente U(K+C) /U(D(K+C)) . Relacionamos isso e a ação de diferentes subgrupos unitários para descrever geodésicas métricas (usando uma distância natural) que unem pontos finais. Como consequência obtemos um teorema local de Hopf-Rinow. Também exploramos casos sobre a unicidade de curvas curtas e provamos que existem algumas delas que não podem ser parametrizadas usando operadores mínimos anti-Hermitianos de K(H) + C.