Optical solitons in nematic liquid crystals : arbitrary deviation angle model

Abstract

We study a coupled Schrödinger-elliptic evolution system that describes the propagation of a laser beam in nematic liquid crystals. The elliptic equation describes the effects of the beam electric field on the local orientation (director field) of the nematic liquid crystal and has an important regularizing effect, seen experimentally and understood theoretically in related models. In the present work we propose a new nonlinear elliptic equation for the director field that makes no assumption on the size of the director field angle. The analysis of this elliptic equation leads to an upper bound for the size of the director angle that we believe is optimal and physically relevant, and that implies that the elastic response of the medium prevents a complete alignment between the electric field and the orientation of the liquid crystal. The results on the elliptic problem are combined with arguments from dispersive wave theory to show the local and global well-posedness of the evolution problem and the decay of small initial conditions. We also show the existence of constrained minimizers of the Hamiltonian, assuming sufficiently large optical power ($L^2$-norm of the laser field). These minimizers are solitons with radial, monotonically decreasing profiles.

Estudiamos un sistema de evolución elíptico-Schrödinger acoplado que describe la propagación de un rayo láser en cristales líquidos nemáticos. La ecuación elíptica describe los efectos del campo eléctrico del haz sobre la orientación local (campo director) del cristal líquido nemático y tiene un importante efecto regularizador, visto experimentalmente y comprendido teóricamente en modelos relacionados. En el presente trabajo proponemos una nueva ecuación elíptica no lineal para el campo director que no supone ningún supuesto sobre el tamaño del ángulo del campo director. El análisis de esta ecuación elíptica conduce a un límite superior para el tamaño del ángulo director que creemos que es óptimo y físicamente relevante, y que implica que la respuesta elástica del medio impide un alineamiento completo entre el campo eléctrico y la orientación del cristal líquido. Los resultados sobre el problema elíptico se combinan con argumentos de la teoría de ondas dispersivas para mostrar el bien planteado local y global del problema de la evolución y la decadencia de pequeñas condiciones iniciales. También mostramos la existencia de minimizadores restringidos del hamiltoniano, suponiendo una potencia óptica suficientemente grande ($L^2$-norma del campo láser). Estos minimizadores son solitones con perfiles radiales monótonamente decrecientes.

Estudamos um sistema de evolução elíptica de Schrödinger acoplado que descreve a propagação de um feixe de laser em cristais líquidos nemáticos. A equação elíptica descreve os efeitos do campo elétrico do feixe na orientação local (campo diretor) do cristal líquido nemático e tem um importante efeito regularizador, visto experimentalmente e compreendido teoricamente em modelos relacionados. No presente trabalho propomos uma nova equação elíptica não linear para o campo diretor que não faz nenhuma suposição sobre o tamanho do ângulo do campo diretor. A análise desta equação elíptica leva a um limite superior para o tamanho do ângulo diretor que acreditamos ser ótimo e fisicamente relevante, e isso implica que a resposta elástica do meio impede um alinhamento completo entre o campo elétrico e a orientação do cristal líquido. Os resultados do problema elíptico são combinados com argumentos da teoria das ondas dispersivas para mostrar a boa colocação local e global do problema da evolução e o decaimento de pequenas condições iniciais. Também mostramos a existência de minimizadores restritos do hamiltoniano, assumindo uma potência óptica suficientemente grande ($L^2$-norma do campo do laser). Esses minimizadores são sólitons com perfis radiais decrescentes monotonicamente.