A non-homogeneous, non-stationary and path-dependent Markov anomalous diffusion model

Abstract

Se presenta un nuevo marco probabilístico para modelar la difusión anómala. El proceso resultante es markoviano, no homogéneo, no estacionario, no ergódico y dependiente del estado. La ley fundamental que rige este proceso está impulsada por dos fuerzas opuestas: una proporcional al estado actual, que representa la intensidad de la autocorrelación o contagio, y otra inversamente proporcional al tiempo transcurrido, que actúa como función de amortiguamiento. La interacción entre estas fuerzas determina el régimen de difusión, caracterizado por la relación de sus coeficientes de proporcionalidad. Este marco abarca diversos regímenes, incluyendo la subdifusión, el comportamiento browniano no gaussiano, la superdifusión, el balístico y el hiperbalístico. El régimen hiperbalístico surge cuando la fuerza de correlación predomina sobre el amortiguamiento, mientras que un equilibrio entre estos mecanismos resulta en un régimen balístico, que también es estacionario. Fundamentalmente, se demuestra que la no estacionariedad es necesaria para regímenes distintos del balístico. La capacidad del modelo para describir fenómenos hiperbalísticos se ha demostrado en aplicaciones como epidemias, confiabilidad de software y tráfico de red. Además, se exploran las desviaciones de la gaussianidad y se señalan las violaciones del teorema del límite central, con el apoyo de análisis teóricos y simulaciones. También se demostrará que el modelo presenta una sólida estructura de autocorrelación debido a una probabilidad de salto dependiente de la posición.

A novel probabilistic framework for modelling anomalous diffusion is presented. The resulting process is Markovian, non-homogeneous, non-stationary, non-ergodic, and state-dependent. The fundamental law governing this process is driven by two opposing forces: one proportional to the current state, representing the intensity of autocorrelation or contagion, and another inversely proportional to the elapsed time, acting as a damping function. The interplay between these forces determines the diffusion regime, characterized by the ratio of their proportionality coefficients. This framework encompasses various regimes, including subdiffusion, Brownian non-Gaussian, superdiffusion, ballistic, and hyperballistic behaviours. The hyperballistic regime emerges when the correlation force dominates over damping, whereas a balance between these mechanisms results in a ballistic regime, which is also stationary. Crucially, non-stationarity is shown to be necessary for regimes other than ballistic. The model's ability to describe hyperballistic phenomena has been demonstrated in applications such as epidemics, software reliability, and network traffic. Furthermore, deviations from Gaussianity are explored and violations of the central limit theorem are highlighted, supported by theoretical analysis and simulations. It will also be shown that the model exhibits a strong autocorrelation structure due to a position dependent jump probability.