Minimal compact operators, subdifferential of the maximum eigenvalue and semi-definite programming

Abstract

Formulamos la cuestión de la minimalidad de los operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert complejo como un problema semidefinido, vinculando el trabajo de Overton en cite{overton} con la caracterización de matrices hermíticas minimales. Esto nos motiva a investigar la relación entre los operadores autoadjuntos minimales y el subdiferencial del autovalor máximo, inicialmente para matrices y posteriormente para operadores compactos. Para ello, obtenemos nuevas fórmulas de subdiferenciales de autovalores máximos de operadores compactos que resultan útiles en estos problemas de optimización. Además, proporcionamos fórmulas para la minimización de diagonales de operadores autoadjuntos de rango uno, un resultado que podría aplicarse a la optimización numérica de autovalores a gran escala.

We formulate the issue of minimality of self-adjoint operators on a complex Hilbert space as a semi-definite problem, linking the work by Overton in cite{overton} to the characterization of minimal hermitian matrices. This motivates us to investigate the relationship between minimal self-adjoint operators and the subdifferential of the maximum eigenvalue, initially for matrices and subsequently for compact operators. In order to do it we obtain new formulas of subdifferentials of maximum eigenvalues of compact operators that become useful in these optimization problems.Additionally, we provide formulas for the minimizing diagonals of rank one self-adjoint operators, a result that might be applied for numerical large-scale eigenvalue optimization.