The distribution of factorization patterns on linear families of polynomials over a finite field

Abstract

Estimamos el número |A?| de elementos en una familia lineal A de polinomios mónicos de Fq[T] de grado n que tiene un patrón de factorización ?:=1?12?2n?n. Demostramos que |A?| = T(?)qn-m + O(qn-m-1/2), donde T(?) es la proporción de elementos del grupo simétrico de n elementos con patrón cíclico ? y m es la codimensión de A. Además, si la familia A bajo consideración es “dispersa”, entonces |A?|=T(?)qn-m+O(qn-m-1). Nuestras estimaciones son válidas para campos Fq de característica mayor que 2. Proporcionamos límites superiores explícitos para las constantes subyacentes a la notación O en términos de ? y A con un comportamiento “bueno”. Nuestro enfoque reduce la cuestión para estimar el número de puntos Fq-racionales de ciertas familias de intersecciones completas definidas sobre Fq. Estas intersecciones completas se definen mediante polinomios invariantes bajo la acción del grupo simétrico de permutaciones de las coordenadas. Esto permite obtener información crucial sobre su lugar geométrico singular, a partir de la cual se establecen estimaciones precisas de su número de puntos Fq-racionales.

We estimate the number |A?| of elements on a linear family A of monic polynomials of Fq[T] of degree n having factorization pattern ?:=1?12?2n?n. We show that |A?| = T(?)qn-m + O(qn-m-1/2), where T(?) is the proportion of elements of the symmetric group of n elements with cycle pattern ? and m is the codimension of A. Furthermore, if the family A under consideration is “sparse”, then |A?|=T(?)qn-m+O(qn-m-1). Our estimates hold for fields Fq of characteristic greater than 2. We provide explicit upper bounds for the constants underlying the O-notation in terms of ? and A with “good” behavior. Our approach reduces the question to estimate the number of Fq-rational points of certain families of complete intersections defined over Fq. Such complete intersections are defined by polynomials which are invariant under the action of the symmetric group of permutations of the coordinates. This allows us to obtain critical information concerning their singular locus, from which precise estimates on their number of Fq-rational points are established.

Estimamos o número |A?| de elementos em uma família linear A de polinômios mônicos de Fq[T] de grau n com padrão de fatoração ?:=1?12?2n?n. Mostramos que |A?| = T(?)qn-m + O(qn-m-1/2), onde T(?) é a proporção de elementos do grupo simétrico de n elementos com padrão de ciclo ? e m é a codimensão de A. Além disso, se a família A em consideração for "esparsa", então |A?|=T(?)qn-m+O(qn-m-1). Nossas estimativas são válidas para corpos Fq de característica maior que 2. Fornecemos limites superiores explícitos para as constantes subjacentes à notação O em termos de ? e A com comportamento "bom". Nossa abordagem reduz a questão para estimar o número de pontos Fq-racionais de certas famílias de interseções completas definidas sobre Fq. Essas interseções completas são definidas por polinômios que são invariantes sob a ação do grupo simétrico de permutações das coordenadas. Isso nos permite obter informações críticas sobre seu locus singular, a partir das quais estimativas precisas sobre seu número de pontos Fq-racionais são estabelecidas.