Gaussian Behavior of Quadratic Irrationals

Abstract

Estudiamos el comportamiento probabilístico de la expansión fraccionaria continua de un número irracional cuadrático, ponderado por un coste aditivo. Demostramos leyes límite gaussianas asintóticas con una velocidad de convergencia óptima. Trabajamos con el sistema dinámico subyacente asociado a la función de Gauss y sus trayectorias periódicas ponderadas. Trabajamos con métodos de combinatoria analítica, y principalmente con funciones generadoras de Dirichlet bivariadas; empleamos diversas herramientas, provenientes de la teoría de números (el teorema de Landau), de la probabilidad (el teorema de las cuasipotencias) o de sistemas dinámicos: nuestro principal objeto de estudio es el operador de transferencia (ponderado), que relacionamos con las funciones generadoras de interés. El presente trabajo presenta un fuerte paralelismo con los métodos introducidos previamente por Baladi y Vallée en el estudio de trayectorias racionales. Sin embargo, este estudio es más complejo y utiliza un marco de análisis funcional más profundo.

We study the probabilistic behaviour of the continued fraction expansion of a quadratic irrational number, when weighted by some "additive" cost. We prove asymptotic Gaussian limit laws, with an optimal speed of convergence. We deal with the underlying dynamical system associated with the Gauss map, and its weighted periodic trajectories. We work with analytic combinatorics methods, and mainly with bivariate Dirichlet generating functions; we use various tools, from number theory (the Landau Theorem), from probability (the Quasi-Powers Theorem), or from dynamical systems: our main object of study is the (weighted) transfer operator, that we relate with the generating functions of interest. The present paper exhibits a strong parallelism with the methods which have been previously introduced by Baladi and Vallée in the study of rational trajectories. However, the present study is more involved and uses a deeper functional analysis framework.

Estudamos o comportamento probabilístico da expansão fracionária contínua de um número irracional quadrático, quando ponderado por algum custo "aditivo". Provamos leis limite gaussianas assintóticas, com uma velocidade ótima de convergência. Lidamos com o sistema dinâmico subjacente associado ao mapa de Gauss e suas trajetórias periódicas ponderadas. Trabalhamos com métodos combinatórios analíticos e, principalmente, com funções geradoras de Dirichlet bivariadas; utilizamos diversas ferramentas, da teoria dos números (o Teorema de Landau), da probabilidade (o Teorema das Quase-Potências) ou de sistemas dinâmicos: nosso principal objeto de estudo é o operador de transferência (ponderado), que relacionamos com as funções geradoras de interesse. O presente artigo apresenta um forte paralelismo com os métodos previamente introduzidos por Baladi e Vallée no estudo de trajetórias racionais. No entanto, o presente estudo é mais complexo e utiliza uma estrutura de análise funcional mais aprofundada.