Lochs-type theorems beyond positive entropy

Abstract

El teorema de Lochs y sus generalizaciones son teoremas de conversión que relacionan el número de dígitos determinado en una expansión de un número real con el número de dígitos dado en otra expansión. En su versión original, el teorema de Lochs relacionaba las expansiones decimales con las expansiones en fracciones continuas. Estos resultados de conversión también pueden enunciarse para secuencias de particiones de intervalo bajo supuestos adecuados, con resultados que se cumplen prácticamente en cualquier punto, o medida, que involucren la entropía. Este es el punto de vista que desarrollamos aquí. Para abordar secuencias de particiones más allá de la entropía positiva, este artículo introduce el concepto de secuencias de particiones logarítmicamente balanceadas, junto con sus funciones de ponderación. Se trata de secuencias de particiones de intervalo tales que los logaritmos de las medidas de sus intervalos a cada profundidad son aproximadamente iguales. A continuación, enunciamos teoremas de tipo Lochs que funcionan incluso en el caso de entropía cero, en particular para varias secuencias de particiones logarítmicamente balanceadas importantes de naturaleza teórica de números.

Lochs’ theorem and its generalizations are conversion theorems that relate the number of digits determined in one expansion of a real number as a function of the number of digits given in some other expansion. In its original version, Lochs’ theorem related decimal expansions with continued fraction expansions. Such conversion results can also be stated for sequences of interval partitions under suitable assumptions, with results holding almost everywhere, or in measure, involving the entropy. This is the viewpoint we develop here. In order to deal with sequences of partitions beyond positive entropy, this paper introduces the notion of log-balanced sequences of partitions, together with their weight functions. These are sequences of interval partitions such that the logarithms of the measures of their intervals at each depth are roughly the same. We then state Lochs-type theorems which work even in the case of zero entropy, in particular for several important log-balanced sequences of partitions of a number-theoretic nature.

O Teorema de Lochs e suas generalizações são teoremas de conversão que relacionam o número de dígitos determinado em uma expansão de um número real como uma função do número de dígitos dado em alguma outra expansão. Em sua versão original, o Teorema de Lochs relacionava expansões decimais com expansões de frações contínuas. Tais resultados de conversão também podem ser enunciados para sequências de partições intervalares sob suposições adequadas, com resultados válidos em quase todos os lugares, ou em certa medida, envolvendo a entropia. Este é o ponto de vista que desenvolvemos aqui. Para lidar com sequências de partições além da entropia positiva, este artigo introduz a noção de sequências logarítmicas de partições, juntamente com suas funções de ponderação. Estas são sequências de partições intervalares tais que os logaritmos das medidas de seus intervalos em cada profundidade são aproximadamente os mesmos. Em seguida, enunciamos teoremas do tipo Lochs que funcionam mesmo no caso de entropia zero, em particular para várias sequências logarítmicas importantes de partições de natureza teórica dos números.