In this article we derive a Ginzburg–Landau energy functional for a nematic inhomogeneous superfluid in presence of an electric field. The molecules occupy an infinite cylinder ? with cross section D. We suppose vacuum in R3??, with the possibility that an external electric field can be applied parallel to D. The Helmholtz free energy is obtained by taking the London limit of a Ginzburg–Landau nematic superconducting model in absence of magnetic fields, and by including an appropriate contribution of the electric potential energy. We show that the critical parameter inside ?, which defines the Fréedericksz transition on the molecular alignment, is not only influenced by the effects of the electric field in the sample, but also by the additional contribution of the superfluid current. We take a particular solution for the Ginzburg–Landau equations, where the superfluid phase does not have circulation. Then, we demonstrate that the corresponding Fréedericksz threshold can be calculated, on an arbitrary domain, by using the notion of the first positive eigenvalue of the Laplacian. This eigenvalue depends on the chosen geometry and the boundary conditions on the nematic phase in the sample. Next, we apply our results in an infinite slab and in an infinite cylinder with circular cross section, where the nematic superfluid system is subjected to Dirichlet or Neumann boundary conditions in each case. We deduce a modified Fréedericksz threshold, for each configuration mentioned before, in a uniform electric field. In these instances we notice the remarkable fact that, for specific values and regimes of the intrinsic parameters, the critical fields are different than the ones obtained in the pure nematic case. Finally, we also study a Fréedericksz type threshold in a long hollow cylinder with uniform charge density, where molecules are reoriented by the electric field produced only by the internal charges of the sample. This setting suggests that, if molecules are oriented radially at the boundary of the region, a Fréedericksz type threshold appears in order to maintain the radial molecular distribution, which varies with the typical radii of the domain.
En este artículo derivamos una energía de Ginzburg-Landau funcional para un superfluido nemático no homogéneo en presencia de un campo eléctrico. Las moléculas ocupan un cilindro infinito ? con sección transversal D. Suponemos vacío en R3??, con la posibilidad de que se pueda aplicar un campo eléctrico externo paralelo a D. La energía libre de Helmholtz se obtiene tomando el límite de Londres de un Ginzburg– Modelo superconductor nemático de Landau en ausencia de campos magnéticos, e incluyendo una contribución adecuada de la energía potencial eléctrica. Mostramos que el parámetro crítico dentro de ?, que define la transición de Fréedericksz en la alineación molecular, no solo está influenciado por los efectos del campo eléctrico en la muestra, sino también por la contribución adicional de la corriente de superfluido. Tomamos una solución particular para las ecuaciones de Ginzburg-Landau, donde la fase superfluida no tiene circulación. Luego, demostramos que el umbral de Fréedericksz correspondiente se puede calcular, en un dominio arbitrario, utilizando la noción del primer valor propio positivo del Laplaciano. Este valor propio depende de la geometría elegida y las condiciones de contorno de la fase nemática en la muestra. A continuación, aplicamos nuestros resultados en una losa infinita y en un cilindro infinito con sección transversal circular, donde el sistema nemático superfluido está sujeto a condiciones de contorno de Dirichlet o Neumann en cada caso. Deducimos un umbral de Fréedericksz modificado, para cada configuración mencionada anteriormente, en un campo eléctrico uniforme. En estos casos notamos el hecho notable de que, para valores y regímenes específicos de los parámetros intrínsecos, los campos críticos son diferentes a los obtenidos en el caso nemático puro. Finalmente, también estudiamos un umbral tipo Fréedericksz en un cilindro hueco largo con densidad de carga uniforme, donde las moléculas son reorientadas por el campo eléctrico producido únicamente por las cargas internas de la muestra. Esta configuración sugiere que, si las moléculas están orientadas radialmente en el límite de la región, aparece un umbral tipo Fréedericksz para mantener la distribución molecular radial, que varía con los radios típicos del dominio.
