Given two graphs G=(V,EG) and H=(V,EH) over the same set of vertices and given a set of colors C, the impact on H of a coloring c:V?C of G, denoted I(c), is the number of edges ij?EH such that c(i)=c(j). In this setting, the maximum-impact coloring problem asks for a proper coloring c of G maximizing the impact I(c) on H. This problem naturally arises in the context of classroom allocation to courses, where it is desirable – but not mandatory – to assign lectures from the same course to the same classroom. In a previous work we identified several families of facet-inducing inequalities for a natural integer programming formulation of this problem. Most of these families were based on similar ideas, leading us to explore whether they can be expressed within a unified framework. In this work we tackle this issue, by presenting two procedures that construct valid inequalities from existing inequalities, based on extending individual colors to sets of colors and on extending edges of G to cliques in G, respectively. If the original inequality defines a facet and additional technical hypotheses are satisfied, then the obtained inequality also defines a facet. We show that these procedures can explain most of the inequalities presented in a previous work, we present a generic separation algorithm based on these procedures, and we report computational experiments showing that this approach is effective.
Dados dos gráficos G=(V,EG) y H=(V,EH) sobre el mismo conjunto de vértices y dado un conjunto de colores C, el impacto en H de una coloración c:V?C de G, denotado I(c), es el número de aristas ij?EH tales que c(i)=c(j). En este contexto, el problema de coloración de impacto máximo requiere una coloración adecuada c de G que maximice el impacto I(c) en H. Este problema surge naturalmente en el contexto de la asignación de aulas a cursos, donde es deseable –pero no obligatorio– asignar conferencias del mismo curso a la misma aula. En un trabajo anterior identificamos varias familias de desigualdades inductoras de facetas para una formulación de programación entera natural de este problema. La mayoría de estas familias se basaron en ideas similares, lo que nos llevó a explorar si pueden expresarse dentro de un marco unificado. En este trabajo abordamos este tema presentando dos procedimientos que construyen desigualdades válidas a partir de desigualdades existentes, basados ??en extender colores individuales a conjuntos de colores y en extender bordes de G a camarillas en G, respectivamente. Si la desigualdad original define una faceta y se satisfacen hipótesis técnicas adicionales, entonces la desigualdad obtenida también define una faceta. Mostramos que estos procedimientos pueden explicar la mayoría de las desigualdades presentadas en un trabajo anterior, presentamos un algoritmo de separación genérico basado en estos procedimientos e informamos experimentos computacionales que muestran que este enfoque es efectivo.
Dados dois gráficos G=(V,EG) e H=(V,EH) sobre o mesmo conjunto de vértices e dado um conjunto de cores C, o impacto em H de uma coloração c:V?C de G, denotado I(c), é o número de arestas ij?EH tal que c(i)=c(j). Neste cenário, o problema de coloração de impacto máximo pede uma coloração adequada c de G maximizando o impacto I(c) em H. Este problema surge naturalmente no contexto da alocação de salas de aula para cursos, onde é desejável – mas não obrigatório – atribuir aulas do mesmo curso para a mesma sala de aula. Em um trabalho anterior identificamos diversas famílias de desigualdades indutoras de facetas para uma formulação de programação inteira natural deste problema. A maioria destas famílias baseou-se em ideias semelhantes, o que nos levou a explorar se podem ser expressas num quadro unificado. Neste trabalho abordamos esta questão apresentando dois procedimentos que constroem desigualdades válidas a partir de desigualdades existentes, baseados na extensão de cores individuais para conjuntos de cores e na extensão de arestas de G para cliques em G, respectivamente. Se a desigualdade original define uma faceta e hipóteses técnicas adicionais são satisfeitas, então a desigualdade obtida também define uma faceta. Mostramos que estes procedimentos podem explicar a maioria das desigualdades apresentadas em um trabalho anterior, apresentamos um algoritmo de separação genérico baseado nestes procedimentos e relatamos experimentos computacionais mostrando que esta abordagem é eficaz
