Properties of some breather solutions of a nonlocal discrete NLS equation

Abstract

Presentamos resultados sobre soluciones de respiración de una ecuación de Schrödinger discreta no lineal con una no linealidad cúbica de tipo Hartree que modela la propagación de la luz láser en matrices de guías de ondas que utilizan un sustrato de cristal líquido nemático. Un estudio reciente de ese modelo realizado por Ben et al [R.I. Ben, L. Cisneros Ake, A.A. Minzoni y P. Panayotaros, Phys. Letón. A, 379:1705C-1714, 2015] mostró que la no localidad conduce a algunas propiedades novedosas, como la existencia de respiradores orbitalmente estables con modos internos y configuraciones en forma de plataforma con máximos en la interfaz. En este trabajo presentamos resultados rigurosos sobre estos fenómenos y consideramos algunas soluciones más generales. Primero, estudiamos los respiradores que minimizan la energía, mostrando la existencia, así como las propiedades de simetría y monotonicidad. También probamos resultados en el espectro de linealización alrededor de respiradores de un pico, soluciones que se espera que coincidan con minimizadores en el régimen de acoplamiento lineal pequeño entre sitios. Un segundo conjunto de resultados se refiere a soluciones de respiradero de tipo estante que pueden considerarse límites de las soluciones examinadas en [R.I. Ben, L. Cisneros Ake, A.A. Minzoni y P. Panayotaros, Phys. Letón. A, 379:1705C-1714, 2015]. Mostramos la existencia de soluciones con una forma de frente no monótona y justificamos los cálculos del espectro esencial de linealización alrededor de estas soluciones en los casos local y no local.

We present results on breather solutions of a discrete nonlinear Schrödinger equation with a cubic Hartree-type nonlinearity that models laser light propagation in waveguide arrays that use a nematic liquid crystal substratum. A recent study of that model by Ben et al [R.I. Ben, L. Cisneros Ake, A.A. Minzoni, and P. Panayotaros, Phys. Lett. A, 379:1705C-1714, 2015] showed that nonlocality leads to some novel properties such as the existence of orbitaly stable breathers with internal modes, and of shelf-like configurations with maxima at the interface. In this work we present rigorous results on these phenomena and consider some more general solutions. First, we study energy minimizing breathers, showing existence as well as symmetry and monotonicity properties. We also prove results on the spectrum of the linearization around one-peak breathers, solutions that are expected to coincide with minimizers in the regime of small linear intersite coupling. A second set of results concerns shelf-type breather solutions that may be thought of as limits of solutions examined in [R.I. Ben, L. Cisneros Ake, A.A. Minzoni, and P. Panayotaros, Phys. Lett. A, 379:1705C-1714, 2015]. We show the existence of solutions with a non-monotonic front-like shape and justify computations of the essential spectrum of the linearization around these solutions in the local and nonlocal cases.

Apresentamos resultados em soluções de respiro de uma equação de Schrödinger não-linear discreta com uma não-linearidade cúbica do tipo Hartree que modela a propagação da luz laser em matrizes de guias de onda que usam um substrato de cristal líquido nemático. Um estudo recente desse modelo por Ben et al [R.I. Ben, L. Cisneros Ake, A.A. Minzoni e P. Panayotaros, Phys. Vamos. A, 379:1705C-1714, 2015] mostraram que a não localidade leva a algumas propriedades novas, como a existência de respiradores orbitalmente estáveis ??com modos internos e de configurações semelhantes a prateleiras com máximos na interface. Neste trabalho apresentamos resultados rigorosos sobre estes fenômenos e consideramos algumas soluções mais gerais. Primeiro, estudamos respiradores minimizadores de energia, mostrando sua existência, bem como propriedades de simetria e monotonicidade. Também comprovamos resultados no espectro da linearização em torno de respiradores de um pico, soluções que deverão coincidir com minimizadores no regime de pequeno acoplamento linear entre locais. Um segundo conjunto de resultados diz respeito a soluções de respiro do tipo prateleira que podem ser consideradas como limites de soluções examinadas em [R.I. Ben, L. Cisneros Ake, A.A. Minzoni e P. Panayotaros, Phys. Vamos. A, 379:1705C-1714, 2015]. Mostramos a existência de soluções com formato frontal não monotônico e justificamos cálculos do espectro essencial da linearização em torno dessas soluções nos casos locais e não locais.